数学におけるパラドックス集

数学におけるパラドックス集

こんにちは。

今回は皆さんの直観と事実が異なるいわゆる数学のパラドックスについていくつか紹介したいと

思います！

パラドックスとは正しいと思われる前提と妥当と思われる推論から、にわかには信じがたい結論が得られることを言います。

言い換えれば直観に反した結論が出るということです。

①誕生日のパラドックス

皆さんは小学校のクラスなどで同じ誕生日の人を見つけようとしたりしませんでしたか？

小学校では生徒全員の名前が誕生月の順番で貼られていたりしますよね。

今はあるかわかりませんが。

誕生日のパラドックスとはそんな誕生日に関して直観に反する非常に面白い結果が出る例のことです。

では早速、誕生日のパラドックスについて見ていきましょう。

まず、小学校の１クラスが４０人とするとこの中で自分と誕生日が同じ生徒が存在する

確率はどれくらいでしょうか？

まず１人で考えます。すると、３６５日どれでもいいので

確率は３６５/３６５＝１となります。

次に２人で考えます。

２人のときからはまず全員の誕生日が違う確率を考えます。

２人の誕生日が異なるのは最初の人と誕生日が異なるときなので３６４/３６５となります。

よって一致する確率は１－３６４/３６５となります。

次に３人の場合

３人の場合は２人目、３人目とも１人目と違う場合なので確率はどちらも３６４/３６５となります。

よって１人目と誕生日が一致する確率は１－３６４/３６５＊３６４/３６５となります。

なので一般にｎ人のとき誕生日が一致する確率は

１－（３６４/３６５）^ｎ

となります。

nが４０のときは４０を代入すると約０．１＝１０％となります。

よって４０人のクラスで自分と誕生日が同じ人がいる確率は１割ほどとなります。

どうですか？一致する確率は予想より高かったでしょうか？

さて、今度は小学校の１クラスが４０人とするとこの中で誕生日が同じペアが存在する

確率はどれくらいでしょうか？（今度は自分以外のペアも考えます）

５０％より高くなるでしょうか？

１年は３６５日もあるんだから、さっきと同じでほとんどいるわけないじゃん？と思いますよね？

では調べてみましょう。

まず１人の場合は３６５日どれでもＯＫなので確率は３６５/３６５＝１となります。

次に２人の場合を考えます。

まず誕生日が違う確率を求めます。

２人なら誕生日が違うのは１人目が選んだ１通り以外の３６４通りですよね？

よって誕生日が違う確率は３６４/３６５

よって誕生日が一致する確率は１ー３６４/３６５となります。

３人の場合は？

３人の誕生日がすべて異なる確率は２人目が１人目と違い、かつ３人目が１人目と２人目どちらとも違うということです。

２人目は１人目と違う３６４通りから選び、３人目は１人目、２人目と違う３６３通りから選ぶことになります。

つまり確率はそれぞれ３６４/３６５、３６３/３６５になります。

そして同時に起こるので掛け算して３６４/３６５＊３６３/３６５となります。

よって少なくとも２人が一致すればいいので、これを余事象の考えで１から引いて１ー３６４/３６５＊３６３/３６５となります。

勘のいい方はお気づきだと思いますが、これを繰り返していくと分子が１ずつ減っていき

一般にｎ人のとき確率は

１－３６４/３６５＊３６３/３６５＊・・・＊（３６５ーｎ＋１）/３６５

となります。

ｎが４０のときは４０を代入して確率は約８９％となります。

え？９割もいるの？さっきと逆じゃん！

そうなんです！さきほどは自分と誕生日が一致する確率は１割（一致しない確率が９割）でしたが、自分だけと限定せずに

誕生日が同じペアがいる確率を調べるとなんと９割なんです。

さて、最後に２つ目の例で人数が変化するとどうなるか調べてみましょう。

先ほどの計算を高校数学の記号を使ってみると

１－365Ｐn/(365)^nとなります。

このｎをいろいろ変化させればよいことが分かります。

以下が実際やってみた表です。

５人　２．７％

１０人　１１．６９％

１５人　２５．２９％

２０人　４１．１４％

２５人　５６．８６％

３０人　７０．６３％

３５人　８１．４３％

４０人　８９．１２％

４５人　９４．０９％

５０人　９７．０３％

・・・

８０人　９９．９９％

５人ではほとんど存在しませんが、２０人から急に増え始め３０人で７０％、５０人で９７％

となっています。

そして８０人ではほぼ１００％の確率で誕生日のペアが存在することになります。

いかがだったでしょうか？

自分と同じ誕生日の人がいる確率と、自分とは指定しないで誕生日が同じペアがいる確率。

似ているようで確率は全く違う結果になってしまいました。

やはり自分だけと限定するのとそうでないのとでは選択肢の数が大きく異なるので（実際誰と誰がペアでもいいなら可能性はかなり多くなる）

結果がかなり違うものになったと思われます。

②次にハゲ頭のパラドックスというものを紹介します。

タイトルだけで笑いそうですね。

これはこういう主張です。

髪の毛が０本の人は問答無用でハゲである。これは皆さん認めますね。

ではこの人に１本毛を生やしてみましょう。これでもまだハゲですね。

そしてこの人の髪の毛の本数がｋ本のときハゲとする。するとこの人に１本足したところでハゲであることに変わりはない。

よって数学的帰納法によりすべての人はハゲである。

人類みなハゲということですね。

③似たようなものに砂山のパラドックスというものもあります。

砂山はたくさんの砂粒でできています。

ここから１粒取り除いてもそれは砂山のままだということはわかります。

よって最後の１粒が残った状態でも砂山となります。

しかし、仮定から砂山はたくさんの砂粒からできていないといけないので矛盾します。

これはどこからがハゲなのか、どこからが砂山なのかということが曖昧で明確に定まっていない

ことからきています。

③期待値無限大である賭けのパラドックス

この世の中にいくら払っても儲かる期待値無限大の賭けが存在します。

え？早く教えてよ！という声が聞こえてきそうですね。ではお教えします。

それはコインを投げて表が出れば１円もらえ、以降表が出るたびにもらえる金額が２倍になるというものです。

この賭けの期待値は１＊１/２＋２＊（１/２）＾２＋４＊（１/２）＾３＋・・・＝１/２＋１/２＋・・・＝∞

となります。

しかし１０回表が連続して出る確率は1/1024でこのときの金額が512円なので割に合わない賭けであることは直感的にすぐ

分かると思います。

実際、この賭けは全然得ではありません。

いかがだったでしょうか？

今回は、いろいろなパラドックスについて紹介しました。

他にもいろいろなパラドックスがあるので機会があれば解説していこうと思います。

世の中にはいろいろな面白いパラドックスが隠れていることがわかりました。

大学数学の授業や数学書の内容が理解できない。そういった学生さんや社会人のために数学教室を運営しているのでぜひご検討ください。

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今回は以上になります！ご覧いただきありがとうございました。

参考文献

[１]　数学の面白いこと・役に立つことをまとめたサイト