直感に反する数学の面白い問題

こんにちは。

今回は、直感に反する数学の面白い問題についていろいろ紹介していきたいと思います！

１．行きと帰りで違う速度で走ったら、、、？

A君は車を運転するのが趣味です。同じ道を行きは高速道路が渋滞していたので平均時速４０キロ、帰りは空いていたので平均６０キロで走れました。

さて全行程の平均速度は何キロでしょうか？

答え　５０キロ、、、ではありませんよ！

実は４８キロとなります。

実際に解いてみましょう。

Ａ君が運転した距離を１２０キロと仮定します。（４０と６０の最小公倍数なので割り算が綺麗になる）

行きは時速４０キロなので３時間かかり、帰りは時速６０キロなので２時間かかりました。

往復は１２０＊２＝２４０キロでこの行程に５時間かかったわけですから

平均時速は２４０/５＝４８キロとなります。

２．２０ｍの差で勝ったからといって、、、？

Ａ君、Ｂ君、Ｃ君の３人が１対１で１００ｍ走をする。Ａ君はＢ君に２０ｍ差で勝ち、Ｂ君はＣ君に２０ｍ差で勝った。

ではＡ君とＣ君が競走すると何ｍの差がつくだろうか？

答え　３６ｍ

え？４０ｍじゃないの？

いいえ違います。

では考えてみましょう。

Ａ君は俊足です。１００ｍを１０秒で走るとします。

そしてＢ君。２０ｍの差ということは１０秒で８０ｍ走ります。

そしてＢ君とＣ君が競走します。

Ｂ君は１秒に８ｍ走るので１００ｍ走るのに１２．５秒かかります。

そしてＣ君との差は２０ｍですから１２．５秒の間にＣ君は８０ｍしか走れないことになります。

ということはＣ君は１秒に８０/１２．５＝６．４ｍ走ることになります。

そしてＡ君と競走すると、Ａ君が１０秒走ったときにＣ君は６．４＊１０＝６４ｍ走ることになります。

つまり差は３６ｍとなります。

３．謎の電子レンジがある。このレンジはある食べ物を温めるのに５００ｗで３分、１５００ｗで１分

かかるという。さて１０００ｗでは何分かかるだろうか？

２分ではありませんよ。小学校で習うアレを使います！

答え　１分３０秒

小学校で習った反比例の式y=a/xを思い出しましょう。

５００ｗで３分、１５００ｗで１分、何かに気づきませんか？

そう、これはワット数と分数を掛けたら１５００になっているのです。

つまりxy=1500という式になります。これは反比例の式です。

この式に１０００を代入してy=1.5、つまり１分３０秒が答えになります。

４．車が通る確率

ある道路では３０分以内に９５％の確率で車が通ることがわかっています。

さてこの道路で１０分以内に車が通る確率はどれくらいでしょうか？

答え　約６３％

え？９５％の１/３で３２％くらいじゃないの？

いいえ違います。

ではこの問題について考えてみましょう。

１０分以内に車が通る確率＝１－（１０分以内に１台も通らない確率）

ということになります。

余事象の考えですね。

１台だけとは言っていないのでこうなります。

さて、３０分は１０分×３ですから３０分以内で車が通らない確率５％＝

”１０分で車が通らない”を３回繰り返したということになります。

つまり求める確率をＸとすると、Ｘ＾３＝０．０５

これを解いてＸ＝０．３７となります。

よって１０分で車が通らない確率が０．３７なので

１０分以内に車が通る確率は

１－０．３７＝０．６３となります。

５．地球にぴったりひもを巻く。この状態でひもを地球から１ｍ浮かせるには何ｍのひもが必要か？

答え　約６．２８ｍ

地球の半径は６４００ｋｍもありますから、想像より意外と短いですね。それでは見てみましょう。

まず地球の半径をｒとすると、最初のひもの長さは地球の円周分だから

２πｒとなります。

そして１ｍ浮かせた時の周の長さは

２π（ｒ＋１）

よって２π（ｒ＋１）ー２πｒ＝２π

となります。

ここで重要なのは１ｍ浮かせるのに必要なひもの長さは地球の半径に

依存しないということです。

ｒが式に入っていないのでｒは関係ない、つまりｒに依存していないことが

わかりますね。

つまり地球の半径が１ｋｍだろうが１万ｋｍだろうが

ひもは６．２８ｍ必要ということです。

逆に地球にぴったりひもを巻いてから１ｍ足すと何ｍ浮くでしょうか？

地球の半径をＲ、浮いた長さをｒとします。

２π（Ｒ＋ｒ）＝２πＲ＋１

左辺は地球の半径と浮いた長さの合計を半径として周の長さを出していていて、右辺は結局地球の長さに１ｍ足しただけという式

を立てています。

よって２πｒ＝１となり、

ｒ＝1/２πとなります。

これもｒが入っていないのでｒに関係ない式となります。

つまりピンポン玉だろうが、地球だろうが、約１５ｃｍ浮くということです！

直感的には長いものに巻いた方が浮かないイメージですよね？

個人的になんかすごく不思議な感じです。

６．確率の勘違いー確率1/10は１０回に１回必ず起こる？いいえ違います。

よく、明日の降水確率は１０％ですって言われたら１０回に１回は必ず雨が降ると思っている

方も多いかもしれません。しかしそれは違います。

勘違いされている方の考えですと、たとえば降水確率１０％の日が９回あっていずれも雨が降らなかった場合、次は必ず雨が降る

ことになりますが、そうではないことは容易に想像がつくでしょう。

だって雨が降る確率はいつでも１０％です。

降水確率が１０％とは降水確率１０％の日が１０回、１００回、・・・１００００回と増えていくにつれて

雨が降る日が１割に近づいていくと言っているのです。

もっとわかりやすい例ですとサイコロで１の目が出る確率は1/6ですが、運のいい人は１回で１を出すかもしれませんし

運が悪ければ１０回振っても出ないかもしれません。

そういう運の要素を排除して１０００回、１００００回と振っていくと１の目が出る割合が1/6に近づいていく

ということなのです。

７．ガチャで当たりが出る確率について

皆さん、コンプガチャに興味はありますか？

いろんなレアキャラやポケモンのカードなどマニアにはたまらないカードやアイテムがたくさんありますね。

ガチャのレアキャラやレアアイテム狙いはいいですが、お金を注ぎ込み過ぎないように注意しましょう。

私も近鉄のトレーディングカードにだいぶお金を注ぎこみましたが、あれはランダムではない可能性もありますね個人的に。

というわけでこのコンプガチャと確率について検証してみます。

私は近鉄トレインズのカードを購入したことがあります。

１１枚のカードをコンプリートするために計２０枚買ったのですが、７枚にしかなりませんでした。

つまり４枚は全部かぶっていたのです。

９枚や１０枚ならともかく７枚しか出ないなんてあるのか？と思います。

実際に計算してみましょう。

これは相当難しいです。私もどう解けばいいか全く歯が立ちませんでした。

まずコンプガチャとは次のようなものです。

１回ガチャを行うと１つ景品がもらえます。

ｎ種類の景品があってどの景品も当たる確率は同じ、つまり1/ｎの確率で当たります。

同じ景品が連続して当たることもあります。

上記の条件のもとでｎ個すべての景品が揃う確率を求めてみます。

計算

ｋ種類持っている状態で新たに１種類ゲットするのにかかる回数をX(k)とおきます。

求める回数はN=E(X(0)+X(1)+・・・+X(n-1))です。

ここで期待値の線形性からN=Σ(k=0~n-1)E(X(k))となります。

あとはE(X(k))を求めればよいことになります。

X(k)=mとなる確率はm回失敗して次に成功する確率なので

(k/n)^m＊(1-k/n)

よって期待値E(X(k))は

E(X(k))=Σ(k=0~∞)m＊(k/n)^m＊(1-k/n)

となります。

これは１＋２r＋３r＾２＋・・・＋＝1/（1ーr）^2

を用いると、この式でr=k/nとおけば、E(X(k))になるので

E(X(k))=1/{1-(k/n)}^2＊(1-k/n)=1/(1-k/n)=n/n-kとなります。

よって

N=Σ(k=0~n-1)=n/n-k=1+n/(n-1)+n/(n-2)+・・・+n=n(1+1/2+・・・+1/n)

となります。

さて、私の場合、１１種類ある近鉄トレインズのガチャを２０回引いたとき

全部そろう確率を[4]のサイトで計算してもらうと

なんと４５％！

え？２倍近く引いてるのに５０％もありません。嘘？！

しかも３０回引いても６０％程度であることがわかりました。

恐るべしコンプガチャ。

こんなの絶対ダメでしょ。最初からコンプセットで売るべきです。

あとよくやったのが造幣局の記念金貨の当選率を高めるためにハガキを１００枚出したりもしてました。

造幣局の記念金貨は天皇に関するものが多く、だいたい倍率が３０倍とか高いときは５０倍にもなる人気商品です。

倍率が３０倍が一般的な記念金貨の倍率ですから、このとき倍の６０枚出したら当選する確率はどれくらいか考えてみましょう。

少なくとも１枚当選する確率＝１ー（１枚も当選しない確率）

仮にハガキの枚数を１０００枚とします。

当選数は３３枚です。

１枚も当選しないのは３３枚すべてを１０００－６０＝９４０枚から選ぶ場合

１－(940/1000)(939/999)・・・(908/968)=1-0.127=0.873=87.3%

解説　ハガキを引くたびにハズレが１枚ずつ減っていき、またハガキの総数も１枚ずつ減っていきます。

このような試行を独立でない試行と呼びます。

そして()の中の分数はほぼ0.94とみなしてよいので、0.94で計算しました。

当選倍率の２倍の枚数を出すと、約87%の確率で当選することがわかりました。

私は東日本大震災、令和即位金貨の両方でハガキを８０～１００枚出して２つとも当選しています。

まあ過去の倍率から確率論を使って何枚ハガキを出せば９割ほど当たるかを見て倍率を高めの５０倍

と予想して１００枚出しています。

いかがだったでしょうか？

今回は直感に関する数学のいろいろな問題について解説しました。

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今回は以上になります！ありがとうございました！

参考文献

[1] おすすめの数学クイズ傑作20問題まとめ！算数レベル〜超難問

[2] 地球にロープを巻きつけて

[3] 数学講師が「ガチャ」から考える「直感に反する確率」

[4] コンプガチャの期待値計算機

[5] 反復試行の確率・独立試行の確率とは？公式や見分け方