群の定義について紹介し、どのような集合が群になるか解説します！

群の定義

こんにちは。

今回は群の定義の話をしたいと思います。
群論は数学科以外でも化学などの専攻でも必要になってくる分野です。

群論は代数学の1分野で、群論以外にも環論、体論があります。
違いは何なの？と思いますよね？それは演算の数です。

群においては演算は1つですが、環や体では2つになります。
環と体の違いについては今回は詳しく扱いませんが、環は加法、減法、乗法が自由にできる世界で、体はいわゆる四則演算が自由にできる
世界のことです。

みなさんがよく扱っている有理数や実数の世界、これが体なんですね。
有理数体、実数体と呼ばれています。

さて、これから群の定義に入っていくわけですが
群論などのいわゆる抽象代数学は本質的に必要なモノだけを取り出して抽象化するので
扱っているモノは大したことなくても、考え方が非常に難しいです。

さっき体の演算は2つといいましたよね？でも体には四則演算と言って4つの演算があります。ではあと2つはどこにいったのでしょうか？
実は体の世界では演算は本質的に2つしか必要ないんです。これについては後ほど説明します。

定義に入る前に用語の説明をします。

まず整数の集合をZ、有理数の集合をQ、実数の集合をRとします。

では群の定義です。

まずその前に二項演算の定義をします。

定義1　二項演算

集合Sに対し、写像f:S×S→Sを次で定義します。

f（a,b）=a・b

このとき写像fをSにおける二項演算といいます。
このことを定義すると群とは何かが定義できます。

定義2 群

集合Gが群とは次の1～4を満たすときをいいます。

１．（大前提）a・b∈G（演算した結果がGの中に入っている）

２．結合法則

任意にa,b,c∈Gをとると、（a・b）・c=a・（b・c）

が成立します。

３．単位元の存在

あるe∈Gが存在して、任意のa∈Gに対し
a・e=e・a=aが成立します。
このとき、この特別な元eをＧの単位元と呼びます。

４．逆元の存在

任意のa∈Gに対し、あるa’∈Gが存在して
a・a’=a'・a=eが成立します。
このときa'をa^(-1)と書き、Gにおけるaの逆元といいます。

以上4つが成り立つとき、集合Gを群と呼びます。

注意

３と４で任意とあるが逆になっていますが
これが群の定義において重要です。

３は単位元という特別な元（演算が掛け算なら通常は数の1）があって、
他のどんな元と演算してもその元は変わらないということ。
たとえば100に1をかけても100のままだし、10000に1をかけても10000のままです。
つまり演算する相手を変えない性質を持っているのが単位元といえます。

４はどんな元に対しても何かGの元があって演算するとちょうど単位元になると言っています。
たとえば有理数の世界に演算として乗法（普通の掛け算）を導入すると
1に対しては1×1=1で1が逆元、2に対しては2×1/2=1で1/2が逆元になります。
つまりこれは逆数を表していることになります。

つまり単位元は相手が何であってもただ１つしか存在しないが
逆元は相手の元が何であるかによってころころ変わっていることに注意しましょう。

では次から具体的に群の例について考えてみます。
群では考える集合もですが演算を何にするかも同様に重要です。

例1

Gを整数の集合とする。写像f:G×G→Gをf(a,b)=a+bで定義します。
このときGは群になります。

証明

１について
a・b=a+bでa,b∈Zなのでa+b∈Zです。

２について
任意のa,b,c∈Zに対し（a+b）+c=a+(b+c)=a+b+cが成立します。

３について
0∈Zがあって、任意のa∈Zに対しa+0=0+a=aが成立します。

４について
任意のa∈Zに対し-a∈Zが存在しa+(-a)=(-a)+a=0が成立します。

以上よりGは群です。

少し説明を加えたいと思います。

１と２については普通の数の足し算なので問題ないでしょう。
単に整数と整数を足したら整数になるよねとか、足し算についてカッコの位置に関係なく成立するよね
などごく当たり前のことを言っているだけです。

３について

３については単位元を求めるのですが、定義に従うと
a・e=e・a=a、つまりa+e=e+a=aとなり
a+e=aからe=0となります。

４について

４については逆元を求めるので
a・a'=a'・a=e、つまりa+a'=a'+a=0となり
a+a'=0からa'=-aとなります。

ではこれはどうでしょうか？

問題　集合Gを整数の集合として、演算を乗法（普通の掛け算）とする。このときGは群になるか？

答え

ならない

これは群にならないのですが、なぜかわかりますか？
それでは少し考えてみましょう。

まず１つずつ見ていきましょう。

１について

１については整数と整数をかけても整数なので成立します。

２について

任意のa,b,c∈Zに対し（ab）c=a(bc)=abcが成立します。

３について

a・e=e・a=a、つまりae=aとなり
a(e-1)=0となります。
aはなんでもよいので例えばa=2とすると
e=1となります。

４について

群ではないが答えなので

４が成立しないことになりますがどうなるか考えてみましょう。

a・a'=a'・a=e、つまりa・a'=1となりa'=1/aとなる。
しかしここで、a∈Zなので一般に1/a∉Zとなる。
逆元は当然Gの元なのでZの元でなくてはならないが、Zの元ではないので
成立しません。

以上よりGは群ではないことがわかります。

では先ほどの問題のGを群にする方法について解説していきます。
先ほどは逆元が存在しなかったので群にならなかったですよね。
では1/a∈Z、つまり1/aが整数になる条件を考えてみましょう。

その整数をnとすると、1/a=nよりan=1
a,n∈Zなのでa=n=1か、a=n=-1の2通りしかないことがわかります。
a=1のときは1が逆元で、a=-1のときは-1が逆元となります。
そして単位元は1なのでこれで群となります。

つまりＧ＝｛1,-1｝で演算は乗法とするとＧは群になるのです！
この群を乗法群と呼びます。

最初のほうで四則演算で本質的に必要な演算はたった2つだけと言いましたが
それはなぜか？を説明していきます！

これは体の演算を見るとわかります。
体には通常の加法と乗法の2つが導入されていることが多いです。
注意点としては群でも環でも体でも演算は普通の加法や乗法とは限らないこと。

つまりa・b=a×b-a+b+1みたいなものでもいいわけです。
これが群になるかはまた別の問題ですが。

そして加法の逆元はマイナスの数、乗法の逆元は逆数であることはさきほどやりましたね。
四則演算において加法と乗法以外には減法と除法ですが
減法とはマイナスの数を加えること、そして除法とは逆数をかけることに相当します。
少し考えればわかりますね。

なので減法は加法の逆演算（逆数を足す）、除法は乗法の逆演算（逆数をかける）になっている
ので、加法と乗法さえあれば四則演算はできるということになります。

ちなみに大学数学では基本的に割り算は出てきません。すべて掛け算になっています。
もし割り算を認めてしまうと、以前に世界中で議論になった6÷2(1+2)=?みたいな変なことも起きてしまいますが、
掛け算のみならそんなことは起きません。

掛け算のみですと先ほどの例の答えは9に決まりますが、割り算のままで問題が出されたので、1か9かで大論争を巻き起こしてしまったのです。
ちなみにこの問題、当時数学科に在籍していた私が先生に聞くとそもそも問題の書き方がおかしいとのことで全部掛け算にしないといけないとのことでした。
まあそれ以前に数の計算なのに文字式のように掛け算を省略して2(1+2)のように書いてるのもおかしいと思いますが。
もしこれが×が書いてあれば2(1+2)の部分は2×（1+2）となって頭から計算して9と決まります。

いかがだったでしょうか？
今回は抽象代数学の入門でもある群の定義と例について解説しました。
少しは群というものの概念について理解できましたでしょうか？

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今回は以上になります！ありがとうございました！

参考文献

[1] 代数学の基礎（PDF）　日本大学